平方根って何?

とってもわかりづらかった平方根。

 

平方はわかるだろうか。30平方メートルとかってのは聞いたことがあると思う。

面積の話だね。

 

四角形を考えてみよう。

 

縦横かけると面積が出るよね。

これを正方形だけにすると、縦と横の長さが一致する。

 

5×5=25  だね

 

数を2回かけることを平方という。で、面積の単位になってる

 

もう一度書くと、正方形に限定すると縦横の長さは同じ。上の式だと面積は25だね。縦と横の長さは同じです。これを平方根だと思えば少しはわかるかな

 

 ちなみに平方根が整数になるのは、100まででは、1,4,9,16,25,36,49,64,81,100

です。

 それぞれの平方根は 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10です

 

他の数字は整数で表せないので「√」という記号を使います。ルートと読みます

 

何故そんなものを?と言う疑問は自然だけれど、繰り返し言っている「そういう風に約束したルール」ですから文句を言っても始まらない

 

 理解するとかしないとかの話でもなく定義をそのまま覚えて使うだけです。

 

これも繰り返しだけれど、定義を覚えて定義通りにやる(ルール通りにやる)ことができないと数学だけでなく理系科目はできるようになりません

 

 理解しなくていいです。定義を理解なんかできるわけがないんだから。(理系からは「これだから文系は」と怒られそうだが)

 

「そういうものなんだ」と思う習慣を身につけることが数学上達の早道デス

 

何でこんなものを」を説明しようとすると、数直線の話から始まって延々と長くなるのでしません。

 

が、数学の世界では数字は大きく分けて有理数と無理数に分類されてます

 

有理数って何かというと、みんながなじんできた整数や分数のこと。定義では分数で表すことのできる数字、と言うことになってるはずです

 

 M,Nを整数としN/Mで表すことのできる数字だったかな

 

整数は分数じゃないじゃん、という君は鋭い。が整数も分数で表せる、と言うか分母を1にすればみんな分数だ。

1/1,2/1、3/1,延々と続く。

 

ごまかしみたいで腹が立つ。うん、無理もないけど数学を手に入れたかったら我慢我慢

 

んじゃ無理数ってなんだ、と言えば有理数じゃないものだね(笑い)。つまり分数で表すことが「無理」なんで「無理数」

 

解れと言う方が無理だ?

 

親父ギャグだね。つまらんのがおもしろい。ダーウィンが来たのひげじいのだじゃれもおもしろくないのがおもしろいね

 

要はみんなが思っているほど難しいわけではないと言うこと。

 

当たり前のことをもっともらしく言うのが数学だと思えばいいかも

 

平方根の計算では分母の有利かなんてのがある。分母を有理数に直すっていう素晴らしい技なんだが、これが結構難しい

 

分母分子に同じ数をかけて−−と言うが「そんな事していいの?」という疑問は当然だね

 

イコール(=)の定義を思いだそう。左辺と右辺が同じ、と言う意味だったね。だからできる数学だけの完全裏技、と思っていい

 

1/√3=1/√3×√3/√3=√3/3

 

というすばらしい変形ができるわけだ。要は分母のルートを取りたいだけの話。何故かっていえば計算しずらいから

 

他に理由はありません。あっても中高生は知らなくていい、と言うか一般的には有理化の意味など知らない方がいいかもしれない。

他のこともそうだが、大学の数学科に進まないと解らないようなことは知らない方が多分いい。受験を意識するなら余計にそう。

 

 またまた理系にしかられそうだが、文系だって世界史で言えばルイ15世の鹿の園の話や、徳川家斉の大奥での話などよほど興味があれば別だが、一般的には知らなくていいし、知っても何にもならない。

 歴史を本格的に、特にその時代を本格的に学ぶのであれば、そのことがフランス革命に与えた影響や、幕府崩壊に与えた影響の研究みたいな話になるが、一般的には不要。

 あんまり簡単に書くと、今度はそっち方面からきついおしかりが来そうなので、この辺で辞めておきます^^;

 

 因数分解に戻ろう。

 

 昔は中一で「素因数分解」と言うのをやっていた。

 

今は中三かな。文字式の因数分解の前にやるみたいだが、要は数字を「素数」の積に分けるのを素因数分解という

 

 

素数ってなんだと思った君は正しい。

 

素数」とは1と自身以外の約数を持たない数の事、だよ。

 

わかったね。定義だからね。疑問持っちゃダメだよぉ−−

 

わかるわけないよね

 

しかも「1」は素数じゃないしね

 

「えっ!」て声が聞こえてきそうだけど、定義です。お約束です。ルールです。

 

君がどんなにがんばろうと「1」は素数ではないです。数学という「異世界」のお約束、つまりルールだから。

 

反抗すれば「数学という異世界」には入れない。

 

え−っと、元に戻ろう

 

1、2、3はある意味特別な数なんだ。一番身近だから誰も何とも思ってないけど、異世界の「数学界」では特別な数字。特に一は。

 

1はかけても割っても累乗(後で説明します)してもどんな風にしても1は1です。

 

2は素数の中でただ一つの「偶数」です。2で割り切れない数字を「奇数(英語odd)」といます。

 

あ、素数の説明からずれちゃツタ。

 

具体例が一番わかるわけだけど、

 

例えば4は1と2と4で割れるよね。 割れる数が3つある

 

でも、5は1と5しかないよね。こういうのを素数と約束したわけだ。「約束」だよ「ヤ・ク・ソ・ク」。

 

 いつもの話だけれど、それ以上の深い身があるとすれば、大学数学科に行って研究しよう。あるいは数学先生に議論をふっかけても良いけど、その前に理論武装(つまりは勉強)していこうね

 

 

まあ、中二くらいまでの数学なら普通に考えていて良いのかも知れないけれど、中三くらいからは「定義」と割り切らないとできなくなること必至

 

 

 

中学までは数学得意だったのに、あるいは高一までは数学大好きで得意だったのに、と言う子が何故数学ができなくなるのかは、自分がそうだったので骨身にしみて知っている。

 

数学教育が悪いとしか言えない

 

もっとも数学だけじゃないな。

 

 古典だって、かぐや姫教えるんでも「古典単語の意味を覚える」なんて事すっ飛ばして授業してるもんね。

 

文系でも基本となる大切な事は「覚えないと」話になりません。

 

 常に話がずれる。

 

数学の話、平方根か。

 

第2部をに回そう

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


因数分解のお話

中高一貫が増えてきたけど、一般的には中三で習う。

 

最初が式の展開。初めて計算のための「公式」ってやつが出てくる。

うるさい人はこれも証明しろって言うかも知れないが、中三の展開公式の証明はさほど難しくはない、はずだが

何でも初めて習うものは難しい

 

公式を使えるようになるにのはなお難しい。何とか食らいついてきた子もここでかなり脱落する

 

展開の公式は無理に覚えなくてもいいのだが(そのまま計算すればいいので)、因数分解の逆になっているのでここで覚えないと次が大変

 

 とにかく覚えて使えるようにしましょう。公式というものはそのためにある。深い意味などもちろんありません

 

さてと、ここを過ぎるとお待ちかねの因数分解。

 

せっかく計算したものを元に戻すという不思議な光景が眼前に広がる(笑)。いや笑ってる場合じゃないな。

必ず来る質問がこれです「何のために元に戻すんですか」。

 

考えても無駄なんだが、人は考える生き物だから必死に意味を考えて脱落する。一般的に考えて中三の数学はかなり難しい。

遙かな昔はsin,cosもあったらしい。

 かなり簡易化されたがそれでも難しい事に変わりはない

 

何のために元に戻すのかの、納得できる説明がないまま授業は進む。当然だが「単なる計算」なんかに時間を掛けるのはいかがなものか、という理系の発想が出てきてるんだろうね

 

 数学は単なる計算ではなく、過程が大事なんだと。どうしてそうなるのかがとっても大事なんだと。

 言われる生徒はますます混乱する。

 

公式の丸暗記はいけない」と言われるとまじめな子ほど素直に信じ込み、公式抜きで因数分解に挑んでは撃退されるわけだね。

 

数学好きになるわけがない

 

どうすればいいかと言えば、因数分解の公式を覚えて、使えるように練習するだけ。

因数分解は手品みたいなものだから、種と仕掛けの公式を覚えなければ絶対にできるようにはなりませんです、はい。

 

できる子は不思議にそういう疑問は持たずに、教科書通りにやっている。

「どうしてこんな事をするんだろう」というできない子らの素朴な疑問に驚き「えっ、そんな事考えたことない。そんな事考えていたの」と呆れる

 

 高校生に数学を教えるときに「余計なことを考えるな、疑問は持たない、目の前にあることを覚えることに集中せよ」と口を酸っぱくして言っていたことを思い出す

 それでも聞いてくる子には説明するんだが「どうして、どうして」が延々と続くので、まさにサスペンスの「謎が謎を呼ぶ」展開になる。

 

 疑問を持て」とさんざん言われたろうが、疑問なんか持っちゃダメです。そもそも高校生くらいまでの学習は疑問の余地がなく、ただ覚えること、が肝要です。

 これを言うと「飛んでもない人だ」という非難を昔から受けてきたんだが、確かにこの辺の言葉のニュアンスはとても難しい。文字通り受け取って「問題の解き方」、それも一問一問、その問題の解き方だけを聞いてくる子が多い。当然成績は伸びない。なぜなら数字や文字が変わっただけで「新しい問題」になっちゃうから。

 

 覚えろ」というのは解法の筋道を覚えることであって一問一問無の解き方を覚えることではないのですね

 

例として良くあげるのは

 

9+1はいくつですか

9+2はいくつですか

 

という質問をする。

 

繰り上がりの話ですね。引き算だと繰り下がりになるわけだけれど、繰り上がりの法則を知らないと一つ一つの計算式とその答えを全て覚えなければいけなくなります。

 それは不可能ですね

 

それで覚えなくてもいいけどと

 

9+2=9+1+1=11

 

と言うのを無意識にやっているんだと話すわけ。

 

何故覚えなくてもいいと断るかと言えば

9+2より9+1+1の方が一般的には難しいからです。そういう発想しないからね、普通は。

理系の方は当然と多分言うんだろうけど、法則を覚えるとは何かというたとえ話です

 

難しいと言えば、分数の割り算は後の方をひっくり返して掛ければいいんだけれど、これに「どうして」と思った子は分数計算に苦しむことになります。

 

 そこである先生は

 

2/3÷2/5を通分して説明して見たんだが、前に書いた「謎が謎を」の世界に入ったことは言うまでもないかも知れない

 

素直になりましょう。法則は覚えるものです。疑問を持つものではありません

 

 因数分解ですね。

 

公式に当てはめて計算できるようになったら、練習しましょう。(もう一度言うけれど、公式は因数分解の「種と仕掛け」です、覚えないと絶対にできるようにはなりません)。数こなさないとダメです。必ず展開して検算します。

 

数をこなさないと数学ができるようにはなりません。運動と同じで練習がとにかく大事。

 

 

数学ってこんなにおもしろいんだよ、と理系がいくら言っても無理なものは無理。数字アレルギーは簡単には抜けません。

 

ちなみに僕は文字式の方が計算しやすく、数字だけのものはよく間違って生徒に笑われていた(苦笑

 

字が下手なので計算している内にaと9の区別がつかなくなったりします。字はきちんと書きましょう

 

 

 

 

 

 


参考書や問題集に関すること

たまたま目にした「2020年新課程に対応」という宣伝文句

 

たまたまじゃないな、僕が受験の頃だから半世紀前ねそれ以上前からだね

 

中高生の君たちは気にしなくていいです。せいぜい自分が受けようとする学校の傾向を知るくらいかな

 

課程が変わるたびに大騒ぎみたいになるが、それって受験参考書業界と文科省が結託してるんじゃないのと思うくらい(笑い

 

新しい事は常に入れて行かないといけないから当然改訂はしなければならないんだけど、受験業界は即座に反応するよね

 

傾向と対策」なんてものもあるけど、基本が身についていない段階で傾向と対策なんぞあったもんじゃない

 

 赤本買うと度の大学もほぼ関係なく同じ事が書いてある。ついでに言うと赤本はその年度の5月頃かな、一番早く出る大学と言えばお定まりの東大・京大、次に早慶。順次有名大学から出てくる。

 

 ちなみに地方国立大学は意外に遅い。まあ、赤本も商売だしね

 

ネットの記事に「1/6公式が云々」と言うのがあった。確率の話かと思ったら積分の簡易計算の話だった。

 

良ければ読んでみてください。

https://news.yahoo.co.jp/articles/44a40b14fec3add238a58277b4e57a98ba86a13d

 

理系は数学苦手人間が何故苦手かを理解できないし理解しようともしないしする気もない話の典型

 

みんなできるようになってほしくはないのだろう。なんか特権意識があるような高校の数学の先生達だけの数研室。大学に残れず高校教師にしかなれなかったであろうか、という不思議な意識もあるんだろうな。

 

 最も英語でも本当に英語ができれば教師なんかしてないよ、と僕はいつも言っていた。英語教師ではないけど、一応マルチなんでその辺は何となくわかる

 

 数学の話だな(苦笑

 

いや、今日の題材は数学だけじゃないね。全般だな

 

参考書や問題集は古くても別に問題はない。が理系は、やたら変えるんでなるべく新しいものがいいのは確か。

 

意味があるとは思えないがやたら変える。物理基礎とか化学基礎とかって名前にしてるけど、全然基礎じゃないじゃん。基礎と言うから中学理科の続きかと思ったら違う。一昔前の物理欺修化学気力辰犬磴覆い

 

 気軽るに構えていたら話が違って本気で対処、になっちゃっていやいや「何が基礎」だよ。You are kidding!かよ

 

問題集も参考書も学校で配られる(購入なんだけど)ものが会わないと思ったらすぐに自分に合ったものに買い換えよう。たかだか2000円弱の金額で自分の将来が左右されるかも知れないのだから。

 

 たいていは自分のレベルより程度の高いものを「つかまされている」。チャートはいい参考書なんだけど、数学に関してだけは青・赤はいただけない。計算が面倒すぎて理論が身につく前に破滅かな。

 最も数学関係者にすれば、この程度の計算ができなければ理論も身につかない、と言うことなのかも知れない。黄色だって難しい。数学好きだけれど学校配布の黄色がムズすぎる子に「白にしろ」と変えさせたら数学ができるようになりました。ちなみに公立看護大に合格。

 

 素直な子で、良くできる子だったので「馬鹿にしてる」とかの抵抗がなかった。

 

お金で頼まれるわけだからバカにするとかはないし、その子に一番適した事を考えるのだけれど、なかなか理解してもらうのは難しいらしい。

 誰もがかたくなに自己を守りたい気は確かにあるので致し方ないが。

 

参考書の話だね

 保護者の方も塾にやるよりは遙かに安いです。週二回で月に2万強、教材費その他を考えると年間30万くらい簡単に言っちゃうわけですね。家庭教師やプロを頼めばもっとかかりますね

 

 参考書10冊買っても2万円くらいです。お気に入りがあれば、同じものを3冊くらい買って、あちこちに置いておいていつでも見れる状態にしておくのが一番かな。

 家の中が散らかるけれど、それで志望校に受かるなら安いもの

 

教育はギャンブルによく似ています。こういうと怒る人もいるけれど事実です。

投資しなければ見返りはないけれど投資したからと言って見返りがあるとは限らない、というシビアな部分が大きいです。

 

でも、くどいけれどお金を掛けないと見返りはありません。ギャンブルに比べれば確率はものすごく高いです。「はずした」と思う人は高望みしすぎがほとんどです。

 

 話がどんどんずれた。自分の目標を定めよう

 

 

 

 


連立方程式

中2で習う方程式を連立方程式という。

 

正式名称は多分二元一次方程式だろうと思う

 

計算がへたくそなので間違えてばかりいて嫌になった昔を思い出す。性格がせっかちなので、じっくり考える、と言うのが嫌い、というか苦手なので、計算に手間のかかる連立方程式はいやだった

 

 ここでも=(イコール)の意味はとっても大事。

 

イコール(=)の意味が理解できればたいていの計算・演算式は簡単になるように思うが、あまりに当たり前のことを数学教師は教えない

 

 代入法も加減法もたいして変わる訳ではなく、単なるテクニックの問題なのだが、多分、数学科出の教師だと線形代数を意識するんだろう。教え方がめちゃムズいようだ。

 

 中学生が覚えるのは(理解じゃないよ)計算方法だけでいい、それで十分すぎる。

 

最も、計算よりは文章題が問題かも。一次方程式の文章題よりは、慣れれば未知数を二つ使える連立方程式の方が断然作りやすい。

 

話は飛ぶが、足し算より引き算が、かけ算より足し算が断然難しい。

 

文章題を式にするには例えば未知数をX,Yとすれば

 

X=−−

Y=−−

 

とかならず書くこと。頭の中でだけ考えるから余計に難しくなる

 

極端に難しい問題はできなくてかまわない。いつも言うが数学者になるわけではない。普通の問題ができれば十分

他の科目も同じだが研究者になれるのは、とてつもない才能に恵まれるか、でなければ人的関係的な運の問題。

 

「理解できた」と思ったところで「浅い」と言われるのがオチ。大人は本当にやだね大人は(苦笑)。恒に自分がマウントを取りたい訳だ。

 

 中一で文字式になれてしまえば、中二の計算部分はそんなに難しくはない。素直に「こうすれば良いのか」だけでこなせるだろう

 

中二で厄介なのはむしろ図形だろうと思う。

 

あの「し・ょ・う・め・い」って奴だね(笑)

 

なに、この「当たり前のことをわざとらしく言ってるものは」と大半の人は思ったし、思うに違いない。

 

だいたい例が良くないよね

 

あの二等辺三角形の証明が教科書にあるのが信じられない。ずう−−−っと載ってるんだよ。新制になってからだとしても既に70年は超えた。

が、年月に関係なく載っている

 

図形になると「定義」が余計にやかましい。この「定義」をしっかり覚えない限り図形問題ができるようにはならないことは請け負っておこう^^;

 

話がずれた、連立方程式だ。

 

未知数には普通はX,Yを使う。が少しひねった問題はa,bも使う

 

同じ文字なので同じように扱えばそれで良いのだが、ついついムズく考えるのが人間と言うもの

 

在りし日の中学生の質問に「おんなじように計算すれば良いんだよ、深く考えちゃ駄目」の回答に「でも、先生、さっきと文字が違う」

 

 この話を高校生にするとたいていの子は大笑いするんだが−−−

 

じゃ

 

m+nは?

 

k+lは?

 

ちょっと顔が引きつってくるかな(笑い

 

α+βは?

 

s+tは?

 

よほど数学得意な子以外は気づくというか「降参する」。話の意味がわかりました、笑ってすみませんと(笑)

 

人間の盲点みたいなもので、円周率も3.14の時は良かったが中学になってπになった瞬間、一時的に意味不明になる子は多分

50%を超えるだろう

 

 数学が大事、数学が大事という割りには教授法の改善がなされたとは聞いていない。50年経とうが100年経とうが「わかる奴がわかれば良い」というスタンスは変わらないようだ。

 

 他の科目と違う雰囲気をプンプンさせる数学は素人にはわかってほしくないのかも知れない。「権威がなくなる」からね

 

数学は単なる「厳しいルール」の中の科目だがら、逆にルールをきっちり覚えて適用する、というゲーム感覚の学習の方が良いと思う。

 

 何度も繰り返すが「理解はいらない、方式を覚えよ」が最善

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


等式の変形

方程式に行ったけど、計算に戻ります。

 

数学といけれど所詮は計算。理論は解っても計算できなきゃ点が取れない

 

で、結局は「解ってないじゃないか」ときついおしかりを受けて、また数学嫌いになるわけだ。

 

ある中学生の話だが、数学好きでけっこうできる。でも、中三のある日「相似」のテストで異変が起きた。

 

相似の定義を言え、と言う問題で

 

3角が等しい云々とか書いたのが全てバツ

 

間違っている訳じゃないが、そんな定義はないと全部バツ、6問くらいあったかな。点数は60点台に沈んだ。

以後、そのレベルから出ることはなかった。数学が完璧に嫌いになりましたとさ

 

数学先生が悪いとは言いたくないし、採点が大変なのは身にしみて知ってるからもあるんだけど、一問3点で6問、計18点はきつかったな。

 

 せめて、各問三角で一点でもあげていれば後の顛末は変わっていたろうに、と思うがどうしようもない。本人の人間性もあったからしょうがないかな。正直なところあんまり好きになれる子ではなかった

 

 

で、等式の変形か。

 

これこそ「イコール」の意味と文字式で言った「着目」が大きな武器。というか、これしかない

 

着目した文字をとにかく左辺に移す。それから始める。そういうわけで文字式の変形は君らが思うほどムズくはない。

むしろ簡単。

 

 もちろん極めて複雑な問題はあるわけだが、そんなものは解けなくてもいい。いや、解かなくて良い

 

解説するほどのもんじゃないんだが、一応入れておく。

 

 

ついでに言っておくと、そろそろπの記号が出てきたろうかな。ただの記号なんだが、数学はなんか思わせぶりな解説が多いんで「なんかある」と思ってπ=3.14−−を信じない子まで出る始末。と言うのを文科省はとらえているだろうか。

 あ、その前に学校の先生か。塾の講師も同じだな。

 

子供には「理解しなさい」、「理解が浅い」と言いながら、自分はまるで何も解っていない大人ばっかりだしね

 

ともあれイコールの意味、実に簡単な左辺と右辺は同じだとみなす、と言うのが理屈じゃなくて感覚的に解れば実に簡単な話

 

 

 


方程式

さて、方程式

 

定義を書こうとしてネットで調べたら難しすぎて良くわからない(笑。

 

まあ教科書に書いてあるのを信じるのが無難。中高生に面倒な定義はいらない

 

中一で習うのは一次方程式だ。

 

一次方程式って何?

 

そもそも一次って何?

 

の悲鳴が聞こえてきた。

 

そうだ文字式のところで習うんだけど文字の掛け合わせがいくつあるかを次数と言う、というかそう約束した。

約束しないと何も始まらない。

 

ただ、法律と違うから破ったからと言って罰せられたりはしない。が損をするのは確実だ。100%保証してしまう

 

具体例を挙げればa×aが二次、a×a×aが三次、後はそのまま数字を4,5とあげていけば良い。

 

 じゃabはabcはどうなんだと聞こえてくるな。

 

これが厄介、どの文字に「着目」するかで変わってくる。お、着目って新しい言葉が出てきたぞ。着目とは書いてあるとおり「目を着ける」と言う意味です。怖い話じゃありません。「これだよ」って言う感じかな

 

 だから、例えばabcは全体で見れば三つだから3次。aまたはbまたはcの一つの文字に着目すると一次とみなす。

 

みなす」がわかりません、と言われることも良くある。国語の世界だと言う人がいるが違います。数学業界の専門用語に慣れないと数学は覚えられない。

 「みなす」とは「そう言うことにするという約束」だと思おう。 こんな風に書くとわかるかな「 A=BとはAとBを同じものだとみなす」てな言い方をする訳だ。

 

 あっ! =は記号を挟んで左右同じという意味だからね、前にも書いたと思うけど、左の答えが右、という意味ではありません。

 

と次数の説明ばかり長くなってしまった。方程式の話だね

 

X+3=5

 

でXがいくつか、と言うのを求めるのが方程式。

 

ちなみに一元一次方程式が正式名称らしい。

 

元とは文字の種類のことなので X+Yは二元と言うことになるが、とりあえず今は一元一次方程式。

 

左側を文字だけ、右側を数字だけにするのがこつ。

 

「難しいな」と思った君、やり方を覚えれば良いだけだから深く考えちゃ駄目。考え出すときりがない。

 

 以前教えた高校生が三角比がわからんと言うから説明していたら、その程度のことではなくもっと深い意味があるはずだ、と言うので「僕は知らないからこういう説明しかできない。深い意味があるのなら教えてくれ」と言うと「いや、それを教えるのがあなたの仕事でしょう、そもそも表面的なことの理解しかしないのは浅はかだ」と言われてキレてしまったことがある。

 

 後で聞いたら、その子は学校の数学の先生にも同じ台詞を吐いて先生がキレた、んだそうだ。

 僕がキレるくらいだから無理もない。だからといって本人が三角比の計算ができるわけではないのは言うまでもない。すらすらできるなら話は別なんだが、覚えたくないんで難癖着けているとしか思われないだろうなあ。

 いろいろ説得したけど駄目だったので僕がつぶれた(苦笑

 

 またまた話が飛んだが「やり方を覚えるだけ」です。一次方程式の深遠な意味なんか考えていたらとてもじゃないが計算ができるようにはならない。あるとも思えないし、あっても中高生や一般人の考えることじゃない。

 

 興味のある人はもちろん追求して良いが、その前にまず計算ができるようにしませう

 

イコールを挟んで、左側に文字、右側に数字をそろえるのにはイコールの性質はとても都合が良い。左を左辺、右を右辺と言います

 

例えば  X+3=5の時は左右に同じ数を足したり引いたり、掛けたり割ったりしてもイコールは変わらないから

 

X+3-3=5-3

 

とすると  X=2 になって答えが求まる仕組みになっている。ちなみに方程式の答えには「解」という立派な名前がついている。

 

でも、いちいち上のような計算をしているとめんどくさいので「移項」と言う方法を使う

 

X+3=5   X=5-3

 

要は左辺の数字を右辺に移すので移項。文字や数字の一つ一つを項と言います。英語ではtermだそうです

 

移項するときはプラスマイナスの符号が変わることだけ注意しませう。

 

何で変わるのかって。数学ができる人はこういう質問はまずしない。こういう質問が自分の中で出てきたら、アップアップ状態になっていると思って良い

 

 高校生には特に多い。「謎が謎を呼び、更に謎が深まる」状態になる。中高生の段階だと単なる知識不足なんだけど、こうして数学嫌いの少年少女がますます増えることになるわけだね。

 

「そういう約束なんだからルールを覚えれば良いんだな」と思うように自分を訓練しましょう。追求してわかったと思っても、どうせ「浅い理解」だ、と大人に一蹴されるのがオチ。

 ますます落ち込むだけだね

 

さて、やり方を覚えたら練習しましょう。分数や小数のものも出てくるけど、それも全てイコールの性質を使って簡単に計算できるようにしているだけ。極端に複雑なものは特に解ける必要もないのだし

 

 

 

 

 

 


文字式とは何かな

中一になったとき正負の計算の難関を越えると、今度は「文字式」とか言うのが待っていた。

 

あれは何だ(笑い)と正直思った。半世紀以上過ぎたが記憶に新しい^^;

 

テストで点が取れていたから、僕がわからない等とは誰も思ってはいなかったはず。

 

でも、解ってなどはいませんでした。

意味不明。そのことの先生の説明もなかったように思う

 

話をすると他の子はわかつていたようだ。でも、点数は僕の方が圧倒的に良い。何故か解らん。今でも解らん

 

 

本題に入ろう。

 

アルファベットは単なる記号です。だから「甲・乙・丙」でも良いし(実際和算の記号はそう)何でも良い

 

ただ、だいたいは数学世界の「暗黙の了解」という奴で基本は決まっている

 

X,Y,Zは未知数、あるいは変数だ。

 

a,b,cは定数だ。

 

んが!

 

定数とか未知数とかって何じゃろね、と思うのが「極めて普通の反応」。

この辺はもう理屈の話じゃなくて「感覚の問題」だろうと思う

 

しかもa,b,cも未知数・変数になったりする。

 

混乱の一途をたどる哀れな数学・算数嫌いの少年少女

 

もともと嫌いなのにますます嫌いになるだろうなあ。

 

そういえば「マイナスの数」についても小六の教科書には「マイナスの数はない」ときっぱり書いてあったりする

多分混乱を避けようとしてのことだろうけれど、将来的にますます混乱させる原因を作っている

 

そもそも温度計に「マイナス表示」があるし、天気予報でもマイナス何度と言っていたりするからたいていの子は知っている

 

にも拘わらず「ない」と書かれると信じる子が結構な数でいる

 

中一になったら突然「マイナスの数はあるんだよー」と言われたら、小六の教科書は「うそつき・きつつき・はねつき・もちつき」ではないか

 

 さて文字式。

 

何度も言うがただの記号です。

 

定数というのは「定まった数」のこと。文字だから定まってないけど「そういうことにしようよ」という暗黙の了解だと思えば良いかも。

 でなければ「あなたと私(数学)のお約束。他言せぬよう願いますよ」みたいなモンかな

 

 まあルールです。理解するものとは全く違う。覚えるものの典型かも。

 

この段階で疑問持っちゃうと方程式などわかるはずもなし。

 

数学は言葉を記号で置き換えた論理式みたいな言い方は数学関係者のみでいい。素人には関係ない。誰もが上級者兇覆襪錣韻任呂覆い里人の世の常

 

 ルールって何かと言えばたとえとしてはジャンケンが一番かも。世界共通らしいし。

グーがパーに勝つ事があり得ないのは「ルール」だから

 

数学はルール、つまり定義の学問(この言葉だけでも抵抗のある人も多いので)、というか科目だ。こういう条件でやるよっていうのが数学。

 

 だから「ルール=定義」を覚えないとどうしようもないわけだ。子の辺を勘違いしている人が多いので数学ができるようにならない。

 まあ、言ってる本人がそうだったので、その感覚は実に良くわかる。

 

が、とにかく入試を何とかしたいという生徒が来ると「とっても面倒」。何故かと言えば入試問題を持ってきて、いきなり「この問題がわかんないのでお願いします」とくる。

 

即答できないと「この先生数学できない」と思われるのは長年の習慣で解っているからつらい(笑い

 

 またまた、脱線

 

数学の文字は単なる記号です。

 

それは例えば彼女・彼氏のイニシャルでも何でもかまわないのだが、数学業界の暗黙の了解記号があるので、自分独自の記号や考え方は使わない方が無難

1+1=2の世界での高校までの数学を適当にマスターしましょう

 

1+1=3やその他の数学世界を自分で構築しようなどと思わないのが身のためだと思うぞ^^;

 

くどいが文字は記号です。他の意味は全くありません

 

 

 

 

 

 

 

 


マイナス×マイナスは何故プラスか

中一の生徒を悩ますこの問題に答えるのは簡単ではない。

 

何せ、過去の大数学者も説明に苦しんだのだから(笑い

 

 

ああ、ルールね」と思って通過した子は「理系」。良くわかんないけど「そういうもんか」と思った子も理系。「何故」と思って納得できなかった子は文系、です。おおざっぱに分けると

 

数直線を使った説明が良くなされるが、それはそれで難しい。第一数直線の説明をきちんとたぶんしていない。

 

基本的すぎて数学教師にはどうでも良いらしく、説明はしているんだろうけど「教科書に書いてあるとおり」的感覚での説明しかないような

 

 失礼ながら(でもは「上から目線」で否定語らしい)、それではわかる人は少ない。中高生とはいえ数学を教えるようになってからそういうことにたくさん気づくようになった。

 

 見出しの事項を理解するには最初に数直線が何を意味するかを理解していないとまず理解は不可能だろう

 

30数年前家庭教師を始めたとき、正負の計算すら危なく、数直線と半直線の区別もついていなかった

 

教科書を書く人には当たり前のことでも「初めて習う」人間にとってはとても難しい

 

数直線と半直線の違いは「定義の違い」です。

 

 

要は基準点を0としてプラスマイナス両方向へ線を引けるのが「数直線」。プラスかマイナスの一方向へしか引けないのが半直線。

基準点は0でなくても良かったはずだが中高生は余計なことを覚える必要はない。

 今目の前にあることをしっかり覚えよう。

 

さて、表題の説明に移ろう。

 

-)*(+=-

 

逆も同じだから、記号からしてプラスマイナスしかないわけだからマイナス×マイナスがマイナスだとつじつまが合わない。という程度の理解で十分。

 

 定義、つまりルールだからそのまま覚えりゃ良いのか、と思った君は「大正解」。

 

細かい話は抜きにして(数学者になるわけじゃないんだから)ルールと割り切ることがとても大切。

 

疑問持つことの大切さ」を学校では教えるが「疑問を持ってはいけないことの大切さ」を俺は言いたい

 

定義あっての数学だから定義や公式に疑問を持つこと自体が「間違い」。疑問など数学者に任せておけば良い。

 

高校までの数学(だけじゃなく、他の科目も)覚えれば良いだけの暗記科目と言って良い。大切なのは覚えて「使える状態」にすると言うこと

 

 理解する必要は全くない。

 

どうせ「理解した」ところで「それは浅い理解だね」と言われるのがオチ。

 

当たり前だね、何十年も中学や高校で数学を教えてきた先生と昨日今日初めて習った君の理解が同じだったら、それは数学先生がバカなだけじゃん。高校生から進歩してない

 

高二生だった子に他の科目のことだが「なんでそこまでわかるんですか」みたいな聞き方をされたことがあったが、高二生と同じ理解しかできないのでは俺がバカではないか、と言おうとしたが止めた。

 言ってわかる相手ならばはじめから言ってこないから。生徒に上から目線で見られたのはこの子が最初で最後かも(笑

 

 

 

 


何のための勉強

勉強って何のためにするんだろう。

 

英語なんか意味がわからない。何で僕や私の事をIって言うんだろう

 

1+1や九九は良いけど割合ってなあに、比ってなあに意味わかんない

 

sin  cos意味わかんない。微積って何。計算方法は覚えたけど先生は皮相な理解じゃいかんライプニッツなんかの心まで理解しないといけない、とか言い出すし、参考書にまでそんなこと書いてあったりする

 

 ライプニッツって誰、訳わかんない、と思っている君は正しい

 

数学者になろうと言うほどの天才少年少女なら別だが、そうではないほとんどの高校生にはそんなことは全く必要ない。

 

数学的思考?

 

たぶん数学科出身でもそういう思考ができる人は希だと思う。いや、希少価値があるといったほうがいいかもしれない

 

 たいてい人間は感情で動く。そういう理由で文学専攻のほうが論理的だったりする

 

理系的人間の特徴といえばおよそ教えられることに疑問を抱かず、そっくりそのまま受け入れることにあるかもしれない。むろん、これを細かく分析すれば「いろいろなケース」があるが、今は概略でひとくくりにする。強引な帰納法、いや演繹だったかなどっちでもいいや

 

僕らが高校や大学、いや、中学でもそうだが、そこで学ぶ内容に何か意味を持たせようとすることに無理がある。

 

 結果としての「教養」は個人の問題だろう。例えば僕は家庭教師を始めて高校全教科を教科書レベルだが学びなおさざるを得なくなり、その結果として読書の範囲がものすごく広がった。

 

 だが、これはあくまで「結果」。目的は「講師として最低限の知識を身に着けるため」だった。仕事なので真剣にやった。

 

 学生生徒の皆さんは学ぶことが仕事なので真剣にやってください。仕事だと思えば少しはやる気になるだろうか

 

 仕事と遊びの違いとは、例えばだが、

 

僕はスキーの指導員だが、その日は仕事で出ていた。生徒がいる。午後に二月にしては珍しく雨が降ってきた。北西の空を見ると雪雲が飛んでくるのが見える。今は雨でも寒冷前線が迫り、それが通り過ぎれば吹雪になるのは目に見えている。

 

30分もかかるまい。だが雨は雨。スキーウエアを通してアンダーウエアから靴の中までぐしょぐしょになった

 顛末がわかるので、盛んに生徒の皆さんに気分の悪い人はいませんか、続けていて大丈夫ですか、と声をかけるが、皆さん元気に大丈夫です!

 

 自分がやめたいなどとは仕事だから言えない。そのまま続行したが終わるとすぐに家に帰り風呂に入って何とか風を引くのは避けられた

 

 一方オフの日。指導員仲間から「滑るか」と連絡が入るが「雪降ってるから今日はいいよ」の話になる。

 

 要は、まったく同じようでも、仕事とはいやでもやめられないもの、遊びとはいやならしなくてもいいし、いつでもやめていいもの、とおおざっぱ言えばそういうことです

 

 君たちの勉強は学生・生徒のお仕事だから「いやだからしない」というわけにはいかないし、お仕事できないとなんかつらいよね。

 

 ものすごくできなくていい。「普通」であればそれでいい。だって世の中はほとんどが「いわゆる普通の人」。その中でできるとかできないとかで争っているだけなんだよね。

 

少し欲張って平均点プラス10点を目指すのもいいよね

 

勝ち組」っていう言葉は今もあるようだけれど「負け組」がいるから勝ち組なんだということに気が付かない奴らには「負けてあげたんだよ」と思えばいい。

 最終的な勝ち組なんか指折り数えて何人かな

 

自己満足」と言われるかもしれないけれど自分が幸せならそれでいいじゃないか、とよく思う。

 

 他人にとやかく言われることじゃない。でも、社会の仕組みというものがある。それから逃れることは誰もできない。

 

それは人間だけじゃなくて、社会生活を営む生き物はすべてそう。人間社会の今はそれが勉強になっている。

 

 だからその中で自分なりの幸せをつかむために、今日少しだけでいいから頑張ってみないか。全宇宙の中で一番大事な自分というもののためにさ


覚えるだけで世界が変わるよ

受験関係のいろいろな本を読んでいると良く目につくのが、例えば数学だと単なる計算じゃなくて、微積の意味や歴史を知ろうというお話が良く出てくる

 

 それはそれで良いのだけれど、学校でも良く聞く「理解しよう、丸暗記はいけない」という言葉

 

ところで、初めて聞いたことをすぐに理解できますか。と逆に問いたい

 

数慧の計算式を中学生に見せると「何かの呪文ですか」という楽しい答えが返ってきたりする。

「そうだよ、覚えると大学に合格できるよ」というような返答をしていることが多い

 

関係ない話のようだが自分の知識の範囲外の事はそんなものだろう。

生徒は学校で毎日「初めての話」を聞かされて「理解することが大切だ」と言われる

 

 まじめな子ほどこれに引っかかる。

 

「理解できないあたしや俺はバカなんだ」という刷り込みが始まる。クラスの中にはわかっている奴もいたりするので余計に焦る。

そして泥沼、をどのくらいの数みてきたことか。

 

予習してこいと言われる。

 

習わずにできるのならやる必要はない。習っていないところを時間をかけてやるから勉強が嫌になる。予習なんぞは明日何をやるんだろうくらいで良い。

 

 大切なのは復習。

 

そして「覚えること」。うろ覚えでも良い。

 

覚えれば世界が変わる

 

理解できない」と思っていたことも覚えれば「何だ、こんな事か」になるんだが、大人は子供を脅かすことがよほど好きなのか「そんな浅い理解ではいけない」と言い出す(笑

 

そりゃそうだ、どんな分野でも突き詰めれば全て深い。小学生の算数だってある意味「深淵

 

気にしなくて良い、すらすら理解できるなら学校も何もいらない。本だけあれば良い

 

頭が良いとか悪いとか言ってもたかが知れている範囲内のこと。一部の天才のまねをする必要はない。

 

スポーツもそうだが、ある程度の練習で普通の運動神経があればそこそこのことはできるようになる。

仮にいまできなくてももう少し大きくなったらできるようになることもある

 

 体育の話はほろ苦いな

 

僕は子供の頃から大きかった。でも体育苦手。足は遅いは、器械体操なんか逆上がりもできはしなかった(苦笑

運動と聞くだけでうんざりした。またドタドタ何だよな、と。

 

高校生になった。筋肉がもともとあった運動神経に追いついたらしい。学校一のスポーツマンに変身していた

自分で自分が信じられない、とはこういうことを言うんだろうな、と思った。「うどの大木」とあざけられていたのが嘘のようだった

 

インターハイにいけるようなレベルじゃない。あくまで一般的な中での「変身」。でも、自分の気持ちは変わった。一番手なくてもいいけど、できないと思っていた運動ができるようになって気分晴れ晴れ。

 

努力はしてないわけじゃない。今は推奨されないがウサギ跳びを良くやっていた。いや、中三の頃は毎日やっていた。

 

 

話がずれた、いつもずれる。

 

要は今はできなくても少し大きくなったらできようになっている可能性が高いよ、ということを言いたい。

中一の頃は難しかったことも中三になれば簡単に思えることも多いと思う。

 

今理解できなくても覚えられたら覚えておいた方が良い。

 

忘れていい。

 

覚え直しは新しく覚えるよりは遙かに楽だから

 

例えば英単語を10個暗記するときに全部知らないとストレスが凄くすぐに忘れる。が「見たことがある」ものを何個か混ぜておくとストレスが格段に減る

 

丸暗記でも何でも良い。

 

覚えることの大切さを知ろう。

 

基本的な知識がなければ理解も何もないのだ。

 

九九に疑問を持って理屈をわかろうとしたら、小二ではまず覚えることは不可能だろう。だから「丸暗記させている」。これができなければ割り算も何もできないから。

 

基本」とは覚えることから始まる

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


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